On Teaching Mathematics

Arnoldin mukaan fysiikka ja matematiikka ovat oikeastaan saman tieteen eri haaroja, jotka ovat jatkuvassa dialektisessa vuorovaikutuksesa keskenään - fyysikot soveltavat matemaatikkojen tuloksia, ja fyysikkojen laskentatarpeet potkivat matematiikkaa eteenpäin. Niin kauan, kuin teoreettisen matematiikan tutkijat ovat perillä myös sovelluksista, matemaattinen tutkimus tuottaa käyttökelpoisia tuloksia. Lisäksi sovellusten tunteminen antaa matemaattisiin ongelmiin sellaista näkemystä, joka tekee opetuksesta helpommin ymmärrettävää. Sen sijaan sovelluksia tuntemattomat, puhtaan matematiikan harjoittajat saattavat helpsti sortua tyhjänpäiväiseen aksiomaattiseen nysväämiseen.


Minulla on sekä hyviä että huonoja uutisia Tampereen lipaston matematiikan opetuksen tilasta.


Hyvät uutiset ovat, että analyysin ja lineaarialgebran opetus ponnistaa vankasta ja vakiintuneesta perinteestä, ja linkki sovelluksiin on olemassa. Viimeistään Numeerisen laskennan kurssilla - jolla käsitellään sitä, miten tietokoneella ratkaistaan erilaisia laskenta- ja optimointiongelmia - kaikki opittu analyysin teoria ja lineaarialgebra tulee käyttöön sovellusten näkökulmasta.


Huonot uutiset ovat, että ainakin Laskettavuuden teoria on hakoteillä. Tuon kurssin aiheena ovat enumeroituvat joukot, Turing-koneet ja ylipäänsä mitä kaikkea voidaan laskea ja mitä ei.


Laskettavuuden teorian tulokset ovat abstrakteja ja ne pätevät kaikille algoritmeille. Ongelmana on se, että niistä ei ole hyötyä minkään algoritmin analysoinnissa ja kehittämisessä. Nämä überyleiset tulokset ("ei ole olemassa algoritmia, joka kertoo, pysähtyykö algorimi X syötteellä Y vai ei") saattavat kuulostaa hienoilta, mutta ovat oikeasti algoritmitutkimuksen sivutuotteita, ja hyödytöntä triviaa kaikille muille, paitsi laskettavuuden teorian kehittelijöille.


Tietojenkäsittelyn puolella nämä asiat osataan laittaa paremmin kontekstiin. Lakennan teorian kurssilla - joka käsitteli erilaisia jäsennysautomaatteja ja kieliperheitä - Turingin kone esitellään sinä yleissivistävänä kuriositeettina, joka se oikeasti on. Monisteen neljästäkymmenestä sivusta 9 käytetään Turingin koneen esittelyyn, sekä muutaman perustuloksen todistamiseen.


Periaatteessa matematiikan lukijat voisivat osallistua Laskennan teoriaan - ja oppia soveltavan materiaalin - ja jatkaa sitten Laskettavuuden teoriaan lukemaan teoreettisempaa matskua. Käytännössä vain harva tekee niin, ja suurin osa oppii laskennan teoriasta kaiken turhan eikä mitään hyödyllistä.


Keväällä on joukko-opin kurssi. En tiedä, mitä siellä käsitellään, mutta pelkään pahinta. Vain kahdesti olen törmännyt valinta-aksioomaan ja Zornin lemmaan, ja kummallakaan kerralla niitä ei oikeasti sovellettu. Joukko-opin aksiomaattinen formalisointi tuntuu kornilta, sillä en ole törmännyt yhteenkään tilanteeseen, jossa naivi joukko-oppi ei riittäisi.


Olen Arnoldin kanssa samaa mieltä siitä, että tällainen aksiomaattinen, sovellukseton, abstrakti nysväys pitäisi lopettaa matematiikan maineen säilyttämiseksi. Ei minua oikeasti kiinnosta, onko P sama kuin NP vai ei.